3b1b之前没认真看，闲了整理整理。这里给一个非严格的叉积定义，在二维平面中，我们称 向量v 和 向量w 构成平行四边形的有向面积为向量v 和向量w 的叉积。正负通过右手定则判断，右手四指从v 弯向 w，大拇指朝外，则为正，否则为负。仍以二维平面为例，计算方式如下：将v 作为 二维矩阵第一列，w 作为第二列，行列式的值就是叉积结果。事实上，叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。计算方式如下：

即右边的带有点阵的区域，可以在左下角调整缩放倍数以及隐藏点阵。

关于 M，由于 M 我们要取一个比较大的质数，而出题人往往对一些比较经典的质数如1e9 + 7、998244353等构造一堆卡哈希的数据，所以我们往往通过捕获一个随机数，根据随机数往下再取质数，来尽可能避免被hack。，多了也没必要，字符串哈希往往是作为算法优化的某一步骤，如果双hash都能被卡，说明题目可以采取其它优化策略，如：AC自动机、SA等。显然，有时会存在多个不同的字符串哈希值相同的情况

计算机执行任何程序，本质上都是在执行机器语言指令每条指令都是一条0-1串。指令首先要指明执行什么操作，通常用0-1串的前几位来表示，称为操作码。指令还要指出需要操作的数据来自哪里，操作后的结果数据放回哪里，通常用0-1串中的剩余位来表示，称为操作数或地址码。大部分操作数都是一个地址编号，告诉CPU从哪里取得数据、向哪里放回数据，所以操作数通常也叫做地址码。MIPS作为一种RISC指令集，设计力求保

1951年，哈夫曼在MIT信息论课程的导师给他们两个选择，一是完成学期报告的题目寻找最有效的二进制编码二是完成期末考试。只能说大佬不愧是大佬，毅然决然选择了第一种方式，弃对已有编码的研究，转向新的探索，最终发现了基于有序频率二叉树编码的想法并很快证明了这个方法是最有效的。由于这个算法，学生终于青出于蓝，超过了他那曾经和信息论创立者香农共同研究过类似编码的导师。为了更好地接受哈夫曼树的概念，我们来看

分组背包，依赖背包，树形dp，树上分组背包的基础

Dinic算法，很高效的最大流算法

找不到对象就降低期望（

伸展树(splay tree)，也是平衡二叉搜索树的一种形式，但并非严格的平衡。但是其实现相较于AVL树和红黑树更为简捷。伸展树无需时刻都严格地保持全树的平衡，但却能够在任何足够长的真实操作序列中，保持分摊意义上的高效率。伸展树也不需要对基本的二叉树节点结构，做任何附加的要求或改动，更不需要记录平衡因子或高度之类的额外信息，故适用范围更广。动态版本的我们先不对权值进行扩展，只是先实现一棵基本的Sp

如何利用CDQ分治解决偏序问题